3. Experimento con Réplica
A través de este manual analizamos los experimentos con réplicas y sin réplicas.
Ejemplo 1:
Estudiar el efecto en el tiempo de una determinada reacción química con la variación de temperatura y concentración de un reactivo, como muestra el esquema abajo.
| Variable de respuesta | Y: Tiempo de reacción |
|---|---|
| Factores | A: Concentración de Reactivo (Níveis $V_{-1}$=10% e $V_{+1}$=20%) |
| B: Temperatura (Niveles $T_{-1}$=80ºC e $T_{+1}$=90ºC) | |
| Tratamientos | $V_{-1}$ $T_{-1}$ - concentración a 10% e temperatura a 80ºC ((0)),$\quad$ & |
| $V_{+1}$ $T_{-1}$ - concentración en 20% y temperatura a 80ºC (a), | |
| $V_{-1}$ $T_{+1}$ - concentración en 10% y temperatura a 90ºC (b) | |
| $V_{+1}$ $T_{+1}$ - concentración en 20% y temperatura a 90ºC (ab) | |
| (El número de tratamientos es 2k, en este caso $2^2$=4) | |
| Unidad Experimental | Período de tiempo para cada reacción |
| Réplicas | Repeticiones del experimento bajo las mismas condiciones experimentales, |
| como en el caso del ejemplo com el mismo nivel de temperatura y | |
| reactivo. Cuanto más réplicas haya, los resultados del experimento serán más confiables. |
a) Obtener las estimaciones de los parámetros del modelo;
b) Hacer los tests de hipótesis para analizar la significancia de los parámetros.
Hacer una tabla de acuerdo con la configuración que se muestra a continuación.
| Tratamiento | A | B | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | -1 | -1 | 26.6 |
| (a) | 1 | -1 | 40.9 |
| (b) | -1 | 1 | 11.8 |
| (a) | 1 | 1 | 34 |
| 0 | -1 | -1 | 22 |
| (a) | 1 | -1 | 36.4 |
| (b) | -1 | 1 | 15.9 |
| (a) | 1 | 1 | 29 |
| 0 | -1 | -1 | 22.8 |
| (a) | 1 | -1 | 36.7 |
| (b) | -1 | 1 | 14.3 |
| (a) | 1 | 1 | 33.6 |
Primero, hacemos el upload de los datos. Se puede entrar con los datos en el formato .csv o también copiando y pegando los valores en el campo.
Llevaremos a cabo el análisis del experimento. Lo configuramos de acuerdo con la figura que se muestra a continuación.
Dando clic en Calcular obtenemos los resultados. Se puede descargar el reporte en Word.
Los resultados son:
Cuadro ANOVA
| G.L. | Suma de Cuadrados | Cuadrado Medio | Estad. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 787.32 | 787.320 | 0.894 | 0.367 |
| B | 1 | 182.52 | 182.520 | 0.207 | 0.659 |
| Resíduos | 10 | 8808.72 | 880.872 |
Análisis Exploratoria (residuos)
| Mínimo | 1Q | Mediana | Media | 3Q | Máximo |
|---|---|---|---|---|---|
| 23.8 | 24.725 | 26.65 | 27 | 29.275 | 30.8 |
Coeficientes
| Efecto | Estimativa | Desviación Estándar | Estad.t | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 16.2 | 8.1 | 8.568 | 0.945 | 0.367 |
| B | -7.8 | -3.9 | 8.568 | -0.455 | 0.659 |
Medida Descriptiva de la Calidad del Ajuste
| Desviación Estándar de los Resíduos | Grados de Libertad | R² | R² Ajustado |
|---|---|---|---|
| 29.679 | 10 | 0.099 | -0.081 |
Intervalo de confianza para los parámetros
| 2.5 % | 97.5 % | |
|---|---|---|
| A | -10.99 | 27.19 |
| B | -22.99 | 15.19 |
Intervalo de Predicción
| Y | A | B | Valor Ajustado | Límite Inferior | Límite Superior | Desviación Estándar | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 26.6 | -1 | -1 | -4.2 | -31.197 | 22.797 | 12.117 |
| 2 | 40.9 | 1 | -1 | 12 | -14.997 | 38.997 | 12.117 |
| 3 | 11.8 | -1 | 1 | -12 | -38.997 | 14.997 | 12.117 |
| 4 | 34 | 1 | 1 | 4.2 | -22.797 | 31.197 | 12.117 |
| 5 | 22 | -1 | -1 | -4.2 | -31.197 | 22.797 | 12.117 |
| 6 | 36.4 | 1 | -1 | 12 | -14.997 | 38.997 | 12.117 |
| 7 | 15.9 | -1 | 1 | -12 | -38.997 | 14.997 | 12.117 |
| 8 | 29 | 1 | 1 | 4.2 | -22.797 | 31.197 | 12.117 |
| 9 | 22.8 | -1 | -1 | -4.2 | -31.197 | 22.797 | 12.117 |
| 10 | 36.7 | 1 | -1 | 12 | -14.997 | 38.997 | 12.117 |
| 11 | 14.3 | -1 | 1 | -12 | -38.997 | 14.997 | 12.117 |
| 12 | 33.6 | 1 | 1 | 4.2 | -22.797 | 31.197 | 12.117 |
Resúmen del Análisis de Residuos
| N.Obs | A | B | Resíduos | Residuos Studentizados | Residuos Estandarizados | Leverage | DFFITS | DFBETA | D-COOK |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | 30.8 | 1.156 | 1.137 | 0.167 | 0.517 | -0.365 | 0.129 |
| 2 | 1 | -1 | 28.9 | 1.075 | 1.067 | 0.167 | 0.481 | -0.34 | 0.114 |
| 3 | -1 | 1 | 23.8 | 0.868 | 0.878 | 0.167 | 0.388 | 0.274 | 0.077 |
| 4 | 1 | 1 | 29.8 | 1.113 | 1.1 | 0.167 | 0.498 | 0.352 | 0.121 |
| 5 | -1 | -1 | 26.2 | 0.964 | 0.967 | 0.167 | 0.431 | -0.305 | 0.094 |
| 6 | 1 | -1 | 24.4 | 0.891 | 0.901 | 0.167 | 0.399 | -0.282 | 0.081 |
| 7 | -1 | 1 | 27.9 | 1.033 | 1.03 | 0.167 | 0.462 | 0.327 | 0.106 |
| 8 | 1 | 1 | 24.8 | 0.907 | 0.915 | 0.167 | 0.406 | 0.287 | 0.084 |
| 9 | -1 | -1 | 27 | 0.996 | 0.997 | 0.167 | 0.445 | -0.315 | 0.099 |
| 10 | 1 | -1 | 24.7 | 0.903 | 0.912 | 0.167 | 0.404 | -0.286 | 0.083 |
| 11 | -1 | 1 | 26.3 | 0.968 | 0.971 | 0.167 | 0.433 | 0.306 | 0.094 |
| 12 | 1 | 1 | 29.4 | 1.096 | 1.085 | 0.167 | 0.49 | 0.347 | 0.118 |
Criterio
| Diagnóstico | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| hii (Leverage) | (2*(p+1))/n | 0.330 |
| DFFITS | 2* raíz ((p+1)/n) | 0.820 |
| DCOOK | 4/n | 0.333 |
| DFBETA | 2/raíz(n) | 0.580 |
| Residuos estandarizados | (-3,3) | 3.000 |
| Residuos Studentizados | (-3,3) | 3.000 |
Prueba de Normalidad
| Estadística | P-valor | |
|---|---|---|
| Anderson-Darling | 0.290 | 0.549 |
| Shapiro-Wilk | 0.941 | 0.515 |
| Kolmogorov-Smirnov | 0.159 | 0.552 |
| Ryan-Joiner | 0.979 | 0.669 |
Prueba de Homocedasticidad - Breusch Pagan
| Estadística | GL | P-valor |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.9999 |
Prueba de Homocedasticidad - Goldfeld Quandt
| Variable | Estadística | GL1 | GL2 | P-valor |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.543762619611975 | 3 | 2 | 0.602191866042602 |
| B | 0.538356274651855 | 3 | 2 | 0.597230105553078 |
Prueba de Independencia - Durbin-Watson
| Estadística | P-valor |
|---|---|
| 0.0143 | 0 |
Prueba de Falta de Ajuste
| GL | Suma de Cuadrados | Cuadrado Medio | Estad. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 787.32 | 787.320 | 129.281 | 0.000 |
| B | 1 | 182.52 | 182.520 | 29.970 | 0.001 |
| Resíduos | 10 | 8808.72 | 880.872 | ||
| Desajuste | 2 | 8760.00 | 4380.000 | 719.212 | 0.000 |
| Erro Puro | 8 | 48.72 | 6.090 |
Resultado del Análisis
| Y | A | B |
|---|---|---|
| 26.6 | -1 | -1 |
| 40.9 | 1 | -1 |
| 11.8 | -1 | 1 |
| 34.0 | 1 | 1 |
| 22.0 | -1 | -1 |
| 36.4 | 1 | -1 |
| 15.9 | -1 | 1 |
| 29.0 | 1 | 1 |
| 22.8 | -1 | -1 |
| 36.7 | 1 | -1 |
| 14.3 | -1 | 1 |
| 33.6 | 1 | 1 |
El valor de 0.025; 12-3-1=2.306 y así concluimos que, con nivel $\alpha$ = 5%,los factores A y B son significativos y la interacción AB no es significativa. Basta ver que los coeficientes de regresión de A y B son respectivamente +1 y -1 y como estamos interesados en obtener la respuesta más pequeña (menor tiempo de reacción), elegimos los niveles A-B+.
Con los resultados obtenidos podemos realizar un análisis gráfico en el sistema obteniendo o Gráfico de contorno y superficie.
En la misma página, puede construir un gráfico de la región factible eligiendo el límite superior e inferior de la respuesta
Además, es posible construir el cuadro de optimización.
Ejemplo 2:
Cierta sustancia química se produce en un recipiente a presión. Con el objetivo de estudiar qué factores influyen en la tasa de filtración del producto (Y), se realizó un experimento factorial en el que se consideraron 4 factores: A (temperatura), B (presión), C (concentración de formaldehído) y D (velocidad de agitación). Cada factor se observa en dos niveles.
| Tratamiento | A | B | C | D | Y |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | -1 | -1 | -1 | 45 |
| a | 1 | -1 | -1 | -1 | 71 |
| b | -1 | 1 | -1 | -1 | 48 |
| ab | 1 | 1 | -1 | -1 | 65 |
| c | -1 | -1 | 1 | -1 | 68 |
| ac | 1 | -1 | 1 | -1 | 60 |
| bc | -1 | 1 | 1 | -1 | 80 |
| abc | 1 | 1 | 1 | -1 | 65 |
| d | -1 | -1 | -1 | 1 | 43 |
| ad | 1 | -1 | -1 | 1 | 100 |
| bd | -1 | 1 | -1 | 1 | 45 |
| abd | 1 | 1 | -1 | 1 | 104 |
| cd | -1 | -1 | 1 | 1 | 75 |
| acd | 1 | -1 | 1 | 1 | 86 |
| bcd | -1 | 1 | 1 | 1 | 70 |
| abcd | 1 | 1 | 1 | 1 | 96 |
Haremos el análisis del experimento
Dando un clic en calcular obtenemos los resultados
Los resultados son:
Análise de Experimento sin Replica
| Efecto | Estimativa | Límite Inferior | Límite Superior | Estadística t | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Intercepto | 70.0625 | |||||
| A | 21.6250 | 10.8125 | 14.8772 | 28.3728 | 8.2381 | 0.0004 |
| B | 3.1250 | 1.5625 | -3.6228 | 9.8728 | 1.1905 | 0.2873 |
| C | 9.8750 | 4.9375 | 3.1272 | 16.6228 | 3.7619 | 0.0131 |
| D | 14.6250 | 7.3125 | 7.8772 | 21.3728 | 5.5714 | 0.0026 |
| A:B | 0.1250 | 0.0625 | -6.6228 | 6.8728 | 0.0476 | 0.9639 |
| A:C | -18.1250 | -9.0625 | -24.8728 | -11.3772 | 6.9048 | 0.0010 |
| B:C | 2.3750 | 1.1875 | -4.3728 | 9.1228 | 0.9048 | 0.4071 |
| A:D | 16.6250 | 8.3125 | 9.8772 | 23.3728 | 6.3333 | 0.0014 |
| B:D | -0.3750 | -0.1875 | -7.1228 | 6.3728 | 0.1429 | 0.8920 |
| C:D | -1.1250 | -0.5625 | -7.8728 | 5.6228 | 0.4286 | 0.6861 |
| A:B:C | 1.8750 | 0.9375 | -4.8728 | 8.6228 | 0.7143 | 0.5070 |
| A:B:D | 4.1250 | 2.0625 | -2.6228 | 10.8728 | 1.5714 | 0.1769 |
| A:C:D | -1.6250 | -0.8125 | -8.3728 | 5.1228 | 0.6190 | 0.5630 |
| B:C:D | -2.6250 | -1.3125 | -9.3728 | 4.1228 | 1.0000 | 0.3632 |
| A:B:C:D | 1.3750 | 0.6875 | -5.3728 | 8.1228 | 0.5238 | 0.6228 |
Análise de Experimento sin Replica
| alpha | PSE | ME | SME | t.crit |
|---|---|---|---|---|
| 0.0500 | 2.6250 | 6.7478 | 13.6990 | 2.5706 |
Análise de Experimento sin Replica
| Efectos en Módulo | Half-normal score | |
|---|---|---|
| A | 21.6250 | 2.1280 |
| B | 3.1250 | 0.7835 |
| C | 9.8750 | 1.0364 |
| D | 14.6250 | 1.1918 |
| A:B | 0.1250 | 0.0418 |
| A:C | 18.1250 | 1.6449 |
| B:C | 2.3750 | 0.5730 |
| A:D | 16.6250 | 1.3830 |
| B:D | 0.3750 | 0.1257 |
| C:D | 1.1250 | 0.2104 |
| A:B:C | 1.8750 | 0.4770 |
| A:B:D | 4.1250 | 0.9027 |
| A:C:D | 1.6250 | 0.3853 |
| B:C:D | 2.6250 | 0.6745 |
| A:B:C:D | 1.3750 | 0.2967 |
Daniel Plot
Por los resultados y gráficos obtenidos, tenemos que para los factores A, D, y las interacciones A:C y A:D son significativos.